Что меняется в модели Кайла, если будущая стоимость актива задаётся квантовым случайным блужданием: разбор препринта Лью и Ребентроста (2026)

В заметке разбирается препринт Х. В. Шона Лью и Патрика Ребентроста «Informed trading model with quantum walks» (1), опубликованный на arXiv 5 октября 2026 года и ещё не прошедший рецензирование. Оба автора работают в Центре квантовых технологий (Centre for Quantum Technologies) Национального университета Сингапура; Ребентрост также связан со школой вычислительных наук этого университета (School of Computing).

Работа строится на модели Кайла 1985 года (2) — одной из постоянных точек отсчёта в теории микроструктуры рынка. Квантовое случайное блуждание помещается здесь внутрь равновесной модели, где результат определяется тем, что участники учитывают поведение друг друга.

«Инсайдер», или «информированный трейдер», в модели — это теоретическая роль: участник, у которого есть информация, недоступная остальным. Правовые вопросы инсайдерской торговли здесь не обсуждаются.

Почему выбран этот препринт

Работы о применении квантового случайного блуждания в финансах, разобранные в предыдущих заметках, в основном отвечали на вопрос о том, каким распределениям подчиняются цены или доходности: Де Баккер и соавторы используют квантовое случайное блуждание как модель распределения доходностей (3), Оррелл — как модель цен опционов (4). Этот препринт ставит другой вопрос — как заявки информированного трейдера отражаются в цене, то есть вопрос о ценообразовании и глубине рынка. Среди работ, рассмотренных в этих заметках, по мнению автора этой заметки, его можно рассматривать как пример того, как вопросы, которые ставятся перед квантовым случайным блужданием в финансах, расширяются от описания распределений к механизму ценообразования.

Вторая причина — прозрачность постановки. В модели Кайла заменяется только случайный процесс, задающий будущую стоимость, — классическое случайное блуждание на квантовое, — а остальные элементы модели остаются общими (численные настройки в двух случаях различаются). Поэтому, по мнению автора этой заметки, различия в результатах легче связать именно с этой заменой. Однако, как показано в разделе «Как это читать: отделить ширину от формы», в этих различиях смешаны эффекты ширины и формы распределения (а также вопрос о том, как измерялась лямбда в квантовом случае), и их нужно читать раздельно.

Вместе с тем это препринт, не прошедший рецензирование; расчёты охватывают только t ≤ 23, а рыночные данные не используются. Поэтому в заметке он представлен не как утверждение о том, что квантовое случайное блуждание объясняет рынки, а как исследование свойств модели.

Для чего нужна модель Кайла

Кайл начинает статью с вопросов. Как быстро новая частная информация отражается в ценах? Какую ценность она имеет для того, кто ею владеет? Как шумовая торговля влияет на волатильность цен? Чем определяется ликвидность рынка (2)? Ответы предлагается выводить из модели ценообразования, в которой стратегия информированного участника оптимизируется явно.

В модели три типа участников:

• единственный нейтральный к риску информированный трейдер («инсайдер» в терминологии Кайла), который один знает будущую (ликвидационную) стоимость актива;
• шумовые трейдеры, которые покупают и продают случайные объёмы, не связанные с этой информацией;
• конкурентные, нейтральные к риску маркетмейкеры, которые видят только суммарный объём заявок (поток заявок) и устанавливают цену.

Каждый раунд торговли («аукцион» в терминологии Кайла) состоит из двух шагов. Сначала информированный трейдер и шумовые трейдеры одновременно выбирают объёмы заявок. Затем маркетмейкеры видят суммарный объём и назначают цену, по которой исполняются все заявки. Поскольку маркетмейкеры не могут отличить заявку инсайдера от шума, шумовая торговля служит для неё маскировкой. Конкуренция между маркетмейкерами приводит к тому, что цена равна условному ожиданию будущей стоимости при данном потоке заявок, и прибыль маркетмейкеров в среднем равна нулю (2). Информированный трейдер, понимая, что его заявка сама сдвигает цену, выбирает объём, максимизирующий ожидаемую прибыль.

Если будущая стоимость и объём шумовой торговли распределены нормально, Кайл находит равновесие, в котором стратегия инсайдера и правило ценообразования маркетмейкеров линейны, и показывает, что среди линейных равновесий оно единственно (2). Цена имеет вид «начальная цена + λ × поток заявок». Коэффициент λ показывает, насколько заявка сдвигает цену (ценовое воздействие), и называется лямбдой Кайла (1). Он равен половине отношения стандартного отклонения будущей стоимости к стандартному отклонению шумовой торговли. Обратная величина 1/λ — объём заявок, необходимый, чтобы сдвинуть цену на единицу, то есть глубина рынка. В этом равновесии в цене отражается половина частной информации инсайдера. Ожидаемая прибыль инсайдера равна половине произведения двух стандартных отклонений и, как отмечает Кайл, пропорциональна каждому из них (2). Это последнее свойство понадобится ниже.

Далее Кайл рассматривает последовательную модель со многими аукционами и её предел при непрерывной торговле. В непрерывном равновесии цены следуют броуновскому движению, глубина рынка постоянна во времени, а к концу торгов вся частная информация оказывается в ценах (2). Разбираемый препринт использует только вариант с одним аукционом.

Линейность равновесия держится на нормальности. В доказательстве Кайла прямо сказано, что именно нормальность делает линейной регрессию будущей стоимости на поток заявок (2). Если заменить нормальное распределение будущей стоимости другим, линейное равновесие не гарантировано. Препринт меняет именно это допущение.

Квантовое случайное блуждание с непрерывным временем

В заметке о квантовом случайном блуждании речь шла в основном о блуждании с дискретным временем и монетой, а вариант с непрерывным временем и без монеты был упомянут лишь кратко. В препринте используется именно он.

Фархи и Гутман сформулировали его в 1998 году как квантовую систему, эволюционирующую в непрерывном времени на графе (5). Монеты нет: состояние эволюционирует под действием оператора (гамильтониана), который переносит амплитуду вероятности между соседними вершинами. Если блуждание стартует из начала координат на прямой, амплитуда в каждой точке в момент t выражается в замкнутом виде через функции Бесселя первого рода, а вероятность — через их квадраты. В препринте этот вывод приведён полностью (1).

Свойства похожи на свойства блуждания с дискретным временем.

• Ширина растёт пропорционально t. Стандартное отклонение классического случайного блуждания растёт как √t, а квантового — как t. Такое расширение называют баллистическим, в отличие от диффузионного; для блуждания с дискретным временем оно подробно разобрано в (6). Для блуждания с непрерывным временем Фархи и Гутман показали, что амплитуды выражаются через функции Бесселя, распространяются с постоянной скоростью и быстро убывают за фронтом (5). При нормировке гамильтониана, принятой в препринте (1), рекуррентное соотношение и формулы сумм для функций Бесселя (DLMF 10.6.1, 10.23.3 и 10.23.4 (7)) дают средний квадрат положения, равный ровно t²/2 (расчёт выполнен в этой заметке), так что стандартное отклонение положения равно t/√2.
• Вероятность сосредоточена у обоих краёв. На графике в препринте вероятность собирается у двух внешних краёв распределения, а между ними колеблется от узла к узлу (1).
• Носитель не конечен. В блуждании с дискретным временем после t шагов вне отрезка от −t до t вероятность равна нулю. В блуждании с непрерывным временем при целых t, которые рассчитываются в препринте, ни в одной точке вероятность не равна нулю (1) (при нецелых t бывают моменты, когда вероятность в некоторой точке обращается в нуль, — в нулях функций Бесселя (DLMF §10.21 (7))). За фронтом вероятность быстро убывает (5). В препринте прямая обрезается до конечного отрезка ради сходимости расчёта, и, как сообщается, внутри полученного отрезка оказалось более 1 − 10⁻⁸ всей вероятности (1) (см. ниже).

Как объяснялось в предыдущей заметке, эти свойства возникают из интерференции амплитуд вероятности. Положение классического случайного блуждания, напротив, имеет биномиальное распределение, которое с ростом t приближается к нормальному. Препринт выясняет, что меняется в модели Кайла, если в роли распределения будущей стоимости актива одно из этих распределений заменить другим.

Что заменено и что рассчитано

Постановка

Возможные будущие стоимости лежат на решётке с постоянным шагом s: начальная цена + s × j, где j — целое число. Вероятность того, что будущая стоимость примет данное значение, полагается равной вероятности найти случайное блуждание в точке j в момент t: биномиальной в классическом случае и квадрату функции Бесселя в квантовом. В расчётах s = 0,1, а объём шумовой торговли распределён нормально со средним 0 и дисперсией 1 (1).

Важно, что t — это не число сделок и не время торговли. Аукцион в модели всё время один. t — параметр, задающий, насколько широко распределена будущая стоимость до аукциона. Изменение t в основном играет ту же роль, что изменение дисперсии будущей стоимости в нормальной модели Кайла. Однако одновременно меняется и форма распределения: в классическом случае биномиальное распределение приближается к нормальному, а в квантовом растёт число осцилляций внутри распределения.

Один аналитический шаг

Сначала авторы пробуют аналитическое приближение. Если маркетмейкер использует линейное правило ценообразования, оптимальная заявка инсайдера тоже линейна. Если пересчитать правило маркетмейкера исходя из этой заявки, в квантовом случае получается уже нелинейное правило — отношение взвешенных сумм гиперболических функций. Далее в препринте показано, что наклон пересчитанного правила (ценовое воздействие) пропорционален неопределённости будущей стоимости, остающейся у маркетмейкера после того, как он увидел поток заявок (условной дисперсии). Авторы интерпретируют это так: ценовое воздействие максимально там, где маркетмейкер меньше всего уверен в стоимости актива (1).

Это лишь первый шаг итерации, а не само равновесие. Авторы отмечают, что аналитический путь быстро становится неразрешимым, и переходят к численным методам.

Численный расчёт

Равновесие — это пара из стратегии инсайдера и правила ценообразования маркетмейкера, в которой каждая является наилучшим ответом на другую. В препринте оно рассматривается как неподвижная точка и находится итерациями: по правилу ценообразования вычисляется оптимальная заявка инсайдера, по этой заявке пересчитывается правило, и так далее. Итерации ускоряются методом Андерсона (8), критерий сходимости — невязка не больше 10⁻⁴ (1).

Для квантового случая авторы сообщают, что качество сходимости сильно зависело от настроек итерации: сетки, начального правила ценообразования, параметров ускорения и диапазона, до которого обрезаются будущие стоимости. Поэтому было проведено 100 испытаний настроек с помощью программы оптимизации гиперпараметров Optuna (9), и среди удовлетворивших критерию сходимости выбрана настройка с самым широким диапазоном обрезки. Таким образом, диапазон обрезки — результат этого поиска; при всех t суммарная вероятность внутри выбранного диапазона оказалась больше 1 − 10⁻⁸ (1).

Расчёты охватывают целые t от 1 до 23. В квантовом случае при больших t равновесие найти не удалось, и для сравнения классический случай ограничен тем же диапазоном. Ожидаемая прибыль инсайдера — среднее по 200 000 смоделированных раундов при найденном равновесии (1).

Всё это — обычные численные расчёты на обычном компьютере. Поскольку распределение квантового случайного блуждания записывается в замкнутом виде, квантовый компьютер не нужен, и расчётов на нём в препринте нет. «Квантовое» здесь — это математика, задающая форму распределения будущей стоимости.

Что показали расчёты

Классическое случайное блуждание

Стратегия инсайдера близка к линейной: при подгонке прямой коэффициент детерминации превышает 0,996 для всех t. Правило ценообразования близко к прямой при потоке заявок около нуля и выходит на насыщение при больших заявках, так что в целом напоминает логистическую кривую. Насыщение объясняется тем, что биномиальная будущая стоимость лежит в пределах ±st от начальной цены, и цена не может выйти за этот диапазон. Лямбда Кайла, измеренная как наклон около нулевого потока заявок, при t от 2 до 23 растёт примерно как t в степени 0,491 (t = 1 — выброс) (1).

Квантовое случайное блуждание

Стратегия инсайдера распадается на несколько кластеров, разделённых широкими промежутками, а правило ценообразования содержит соответствующую серию скачков. Авторы замечают, что численно найденное правило ценообразования отчасти похоже на результат аналитического шага. Лямбда Кайла растёт почти пропорционально t (коэффициент детерминации линейной подгонки около 0,9999) (1).

Для ожидаемой прибыли инсайдера — математического ожидания для участника внутри модели, а не показателя результатов на каком-либо реальном рынке — в препринте сообщается зависимость от t примерно как t в степени 0,69 в классическом случае и почти пропорциональная t в квантовом (1). Авторы подчёркивают, что эта зависимость близка к линейной, хотя квантовое равновесие становится сильно нелинейным.

Различие в росте лямбды авторы объясняют различием между баллистическим расширением квантового случайного блуждания и диффузионным расширением классического (1).

Как это читать: отделить ширину от формы

Это объяснение становится нагляднее на фоне нормальной модели Кайла. Приведённой ниже проверки в препринте нет: это собственный расчёт этой заметки по формулам и числам препринта.

В равновесии Кайла лямбда равна половине стандартного отклонения будущей стоимости, делённой на стандартное отклонение шумовой торговли, а ожидаемая прибыль инсайдера — половине произведения этих двух величин (2). В постановке препринта (шаг решётки 0,1, дисперсия шумовой торговли 1) стандартное отклонение будущей стоимости равно 0,1 × √t для классического случайного блуждания и 0,1 × t/√2 для квантового (см. раздел о блуждании с непрерывным временем). Значения, получаемые подстановкой этих величин в формулы Кайла, назовём нормальным ориентиром. Ориентир для лямбды — 0,05 × √t в классическом случае и около 0,0354 × t в квантовом.

Сначала сравним скорость роста — степень t. Классическая подгонка (t в степени 0,491) близка к √t, а квантовая лямбда пропорциональна t. Значит, различие в росте лямбды в основном объясняется разной шириной распределений при одном и том же t, что согласуется с объяснением авторов.

Теперь сравним уровни. В классическом случае подогнанная в препринте формула (1) совпадает с ориентиром вплоть до коэффициента (например, при t = 10 — около 0,161 против ориентира около 0,158). В квантовом же случае наклон лямбды (около 0,0517) примерно в 1,46 раза больше наклона ориентира (около 0,0354). Наклон ожидаемой прибыли в квантовом случае (около 0,0407; это математическое ожидание внутри модели, а не результат на рынке) также примерно на 15% выше наклона ориентира (около 0,0354). В расчёте на единицу стандартного отклонения квантовое равновесие отклоняется от того, чего следовало бы ожидать по нормальной модели Кайла, и одной шириной этот разрыв не объясняется. Для лямбды можно назвать два возможных объяснения. Первое — эффект формы распределения. Второе — способ измерения: в препринте не указано, на каком диапазоне правила ценообразования квантовая лямбда бралась как наклон, а у правила со скачками наклон зависит от диапазона (см. ниже раздел «Допущения и ограничения»). Разрыв же в ожидаемой прибыли (около 15%) — среднее по 200 000 смоделированных раундов, и от способа измерения лямбды он не зависит. В любом случае, вызваны ли эти разрывы формой распределения, по препринту судить нельзя.

Поэтому результаты лучше читать, разделяя то, что связано с шириной, и то, что связано с формой. Скорость роста лямбды определяется в основном шириной; разрыв в уровне на единицу стандартного отклонения и нелинейная форма равновесия связаны не только с шириной. То, что сравнение проводится при равном t, а не при равной дисперсии, — предостережение того же рода, что и в заметке о квантовом случайном блуждании, где «более тяжёлые» крайние значения сравнивались при равном числе шагов.

Если и есть эффект, присущий именно квантовому случайному блужданию, то он проявляется в форме равновесия, а не в том, как его масштаб растёт с t. Нелинейность сама по себе не специфична для квантового случая. Равновесия типа Кайла при ненормальных распределениях изучаются давно (10), в том числе нелинейные равновесия (11, 12). И в классическом случае этого препринта правило ценообразования выходит на насыщение и отклоняется от прямой, потому что будущая стоимость лежит в конечном диапазоне; без допущения нормальности линейное равновесие не гарантировано. Отличительная черта квантового случая — появление нескольких кластеров и скачков, которые в препринте представлены как проявление осцилляций, порождённых квантовым блужданием (1). Как именно форма распределения — пики у обоих краёв и колебания от узла к узлу между ними — соотносится с конкретными скачками правила ценообразования, подробно не анализируется.

Есть и ещё один вопрос, который стоит проверить. По нормальному ориентиру лямбда и ожидаемая прибыль пропорциональны одному и тому же стандартному отклонению, поэтому в классическом случае обе должны расти примерно как √t. В классических результатах препринта подгонка лямбды совпадает с ориентиром не только по показателю (0,491), но и по коэффициенту, тогда как показатель для ожидаемой прибыли (0,69) заметно отличается от 0,5. Для подгонки прибыли вид формулы (есть ли свободный член, включено ли t = 1) в препринте не указан. Чем вызван этот разрыв, в тексте не обсуждается.

Допущения и ограничения

Утверждения препринта следует читать вместе со следующими оговорками.

• Это препринт (v1), не прошедший рецензирование. Результаты и их интерпретация могут измениться.
• Расчёты охватывают только t от 1 до 23. В квантовом случае при больших t равновесие найти не удалось. О поведении при больших t препринт ничего не говорит.
• Равновесия — численные неподвижные точки. Авторы сами сообщают, что сходимость была чувствительна к настройкам итерации. Единственность равновесий не показана.
• Параметры фиксированы. Шумовая торговля нормальна со средним 0 и дисперсией 1, шаг решётки 0,1. Результаты при других значениях не приводятся.
• Не указано, как измерялась лямбда в квантовом случае. В классическом случае это наклон около нулевого потока заявок. Для квантового случая во введении сказано лишь «в линейном режиме»; на каком диапазоне брался наклон нелинейного правила со скачками, не указано.
• Это модель с одним аукционом. Квантовое случайное блуждание не вводится в последовательный или непрерывный варианты модели Кайла.
• Рыночные данные не используются. Выбор распределения квантового блуждания для будущей стоимости также не обосновывается наблюдениями за рынками. Препринт сравнивает свойства двух моделей.
• Доступность кода и данных подтвердить не удалось. В тексте о публикации кода и данных ничего не сказано, а на странице препринта на arXiv ссылок на код нет (дата обращения: 26 октября 2026 года).

Что можно и чего нельзя утверждать

Препринт подтверждает следующее:

• в модели Кайла с одним аукционом замена распределения будущей стоимости распределением квантового случайного блуждания с непрерывным временем даёт — в численных расчётах при t ≤ 23 — равновесия, в которых стратегия инсайдера распадается на кластеры, а правило ценообразования содержит несколько скачков;
• аналитический шаг даёт соотношение, по которому ценовое воздействие пропорционально неопределённости, остающейся у маркетмейкера после наблюдения потока заявок. Это соотношение выполняется при любом распределении будущей стоимости и не специфично для квантового случайного блуждания; специфичен для квантового случая лишь вид, который условная дисперсия принимает как функция потока заявок;
• различие в росте лямбды (пропорционально t или близко к √t) в основном объясняется различием в том, как расширяются два распределения. Однако в расчёте на единицу стандартного отклонения квантовая лямбда примерно в 1,5 раза больше нормального ориентира, и одной шириной этот разрыв не объясняется (собственная проверка этой заметки).

Чего препринт пока не подтверждает:

• что будущие стоимости на реальных рынках распределены подобным образом — это не проверялось;
• что результаты сохраняются при больших t, при другом уровне шума или другом шаге решётки;
• какого-либо вывода, отделяющего эффект квантового случайного блуждания от эффекта ширины распределения, — сравнение проводится при равном t, а не при равной дисперсии, и по препринту нельзя судить, вызван ли разрыв в уровне на единицу стандартного отклонения формой распределения;
• что квантовые компьютеры ускоряют финансовые расчёты — это исследование другого рода. В классификации из заметки о «квантово-инспирированных» методах оно относится к работам, использующим математику квантовой механики как модель распределений вероятностей.

Модель Кайла расширялась в разных направлениях: отказ от нормальности, несколько активов, участники, не нейтральные к риску (1). Этот препринт можно рассматривать как попытку ввести квантовое случайное блуждание в распределение будущей стоимости. Его результаты лучше воспринимать, держа в уме диапазон расчётов и условия сравнения.

---

Эта серия разбирает по опубликованным работам исследования в области квантовых финансов и эконофизики. Она не содержит оценок перспектив каких-либо рынков или активов.